[핸즈온 머신러닝] 9장 - 비지도 학습 2 (가우시안 혼합)

[AI/Hands-on ML] - [핸즈온 머신러닝] 9장 - 비지도 학습 1 (군집)

[핸즈온 머신러닝] 9장 - 비지도 학습 1 (군집)

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9. 2 가우시안 혼합

가우시안 혼합 모델

샘플이 파라미터가 알려지지 않는 여러 개의 혼합된 가우시안 분포에서 생성되었다고 가정하는 확률 모델

하나의 가우시안 분포에서 생성된 모든 샘플은 하나의 클러스터를 형성

하나의 가우시안 분포로 표현하기 어려운 데이터는 여러개의 가우시안 분포를 합쳐서 표현할 수 있음.

 

사이킷런의 GaussianMixture 클래스

- 사전에 가우시안 분포의 개수 k를 알아야 함

- 데이터셋 X가 다음 확률 과정을 통해 생성되었다고 가정

• 샘플마다 k개의 클러스터에서 랜덤하게 한 클러스터가 선택되고

• j번째 클러스터를 선택할 확률은 클러스터의 가중치 φ(j) 로 정의됨

• i번째 샘플을 위해 선택한 클러스터 인덱스는 z(i)

• z(i)=j 이면, (i번째 샘플이 j번째 클러스터에 할당되었다면) 이 샘플의 위치 x(i)는 평균이 μ(j)이고 공분산 행렬이 Σ(j)인 가우시안 분포에서 랜덤하게 샘플링됨

- 데이터셋 X가 주어지면 가중치 φ와 전체 분포의 파라미터 μ(1)에서 μ(k)까지와 Σ(1)에서 Σ(k)까지를 추정하는 코드

from sklearn.mixture import GaussianMixture

gm = GaussianMixture(n_components=3, n_init=10, random_state=42)
gm.fit(X)

gm.weights_

=> array([0.20965228, 0.4000662 , 0.39028152])

- 실제 이 데이터를 생성하기 위해 사용한 가중치는 0.2, 0.4, 0.4

gm.means_

=> array([[ 3.39909717, 1.05933727], [-1.40763984, 1.42710194], [ 0.05135313, 0.07524095]])

gm.covariances_

=> array([[[ 1.14807234, -0.03270354], [-0.03270354, 0.95496237]], [[ 0.63478101, 0.72969804], [ 0.72969804, 1.1609872 ]], [[ 0.68809572, 0.79608475], [ 0.79608475, 1.21234145]]])

 

위 클래스는 기댓값-최대화(Expectation-Maximization, EM) 알고리즘을 사용함

- 클러스터 파라미터를 랜덤하게 초기화하고 수렴할때까지 두 단계를 반복함

• 먼저 샘플을 클러스터에 할당 (기댓값 단계)

• 그 후 클러스터를 업데이트 (최대화 단계)

• 군집 입장에서 보면 EM을 클러스터 중심 (μ(1)에서 μ(k)까지) 뿐만 아니라 크기, 모양, 방향 (Σ(1)에서 Σ(k)까지)과 클러스터의 상대적 가중치 (φ(1)에서 φ(k)까지) 를 찾는 k-평균의 일반화로 생각할 수 있음

- k-평균과 달리 EM은 하드 클러스터 할당이 아니라 소프트 클러스터 할당을 사용함

• 기댓값 단계에서 알고리즘은 각 클러스터에 속할 확률을 예측함

• 그 다음 최대화 단계에서 각 클러스터가 데이터셋에 있는 모든 샘플을 사용해 업데이트됨

• 클러스터에 속할 추정 확률로 샘플에 가중치가 적용됨 (이 확률을 샘플에 대한 클러스터의 책임 이라고 부름)

※ k-평균과 마찬가지로 EM도 나쁜 솔루션으로 수렴할 수 있음

- 여러 번 실행하여 가장 좋은 솔루션을 선택해야함 (n_init 값 설정)

 

# 알고리즘이 수렴했는지 여부
gm.converged_

=> True

# 반복 횟수
gm.n_iter_

 

=> 3

 

각 클러스터의 위치, 크기, 모양, 방향, 상대적인 가중치을 예측했으므로,

- 이 모델은 새로운 샘플을 가장 비슷한 클러스터에 쉽게 할당할 수 있음(하드 군집) => predict()

- 또는 특정 클러스터에 속할 확률을 예측할 수 있음(소프트 군집) => predict_proba()

gm.predict(X)

=> array([2, 2, 1, ..., 0, 0, 0])

gm.predict_proba(X)

=> array([[2.32389467e-02, 6.77397850e-07, 9.76760376e-01], [1.64685609e-02, 6.75361303e-04, 9.82856078e-01], [2.01535333e-06, 9.99923053e-01, 7.49319577e-05], ..., [9.99999571e-01, 2.13946075e-26, 4.28788333e-07], [1.00000000e+00, 1.46454409e-41, 5.12459171e-16], [1.00000000e+00, 8.02006365e-41, 2.27626238e-15]])

 

가우시안 혼합 모델은 생성 모델

- 이 모델에서 새로운 샘플을 만들 수 있음

X_new, y_new = gm.sample(6)
X_new

=> array([[ 2.95400315, 2.63680992], [-1.16654575, 1.62792705], [-1.39477712, -1.48511338], [ 0.27221525, 0.690366 ], [ 0.54095936, 0.48591934], [ 0.38064009, -0.56240465]])

y_new

=> array([0, 1, 2, 2, 2, 2])

 

또는 주어진 위치에서 모델의 밀도를 추정할 수 있음 -> score_samples() 사용

- 샘플이 주어지면 이 메서드는 그 위치의 확률 밀도 함수(PDF)의 로그를 예측함

- 점수가 높을수록 밀도가 높음

gm.score_samples(X)

=> array([-2.60782346, -3.57106041, -3.33003479, ..., -3.51352783, -4.39802535, -3.80743859])

 

- 이 점수의 지숫값을 계산하면 샘플의 위치에서 PDF값을 얻을 수 있음

- 이 값은 하나의 확률이 아니라 확률 밀도임(어떠한 양숫값도 될 수 있음)

 

훈련된 가우시안 혼합 모델의 클러스터 평균, 결정 경계, 밀도 등고선

알고리즘이 훌륭한 솔루션을 찾은 것으로 보임

- 하지만 이 문제는 2D 가우시안 분포를 사용해 데이터를 생성한 쉬운 작업

- 실제 데이터는 가우시안 분포나 저차원이 아닌 경우가 많음

- 또한 이 알고리즘에 정확한 클러스터 개수를 입력했음

- 특성이나 클러스터가 많거나 샘플이 적을 때는 EM이 최적의 솔루션으로 수렴하기 어려움

- 이런 작업의 어려움을 줄이려면 알고리즘이 학습할 파라미터 개수를 제한해야 함

• 클러스터의 모양과 방향의 범위를 제한할 수 있음 => 공분산 행렬에 제약 추가

• 사이킷런에서는 covariance_type 매개변수 설정

  • spherical : 모든 클러스터가 원형이지만, 지름은 다를 수 있음 (분산이 다름)

  • diag : 클러스터는 크기에 상관없이 어떤 타원형도 가능함. 하지만 타원의 축은 좌표 축과 나란해야 함 (공분산 행렬이 대각 행렬이어야 함)

  • tied : 모든 클러스터가 동일한 타원 모양, 크기, 방향을 가짐 (모든 클러스터는 동일한 공분산 행렬 공유)

  • full : 기본값, 각 클러스터는 모양, 크기, 방향에 제약이 없음 (즉, 각자 제약이 없는 공분산 행렬을 가짐)

(왼쪽) tied 클러스터 / (오른쪽) spherical 클러스터를 사용한 가우시안 혼합

 

※ 계산 복잡도

GaussianMixture 모델을 훈련하는 계산 복잡도는 샘플 개수 m, 차원 개수 n, 클러스터 개수 k와 공분산 행렬에 있는 제약에 따라 결정됨

- "spherical" 나 "diag" 이면 데이터에 어떤 클러스터 구조가 있다고 가정하므로 O(kmn)

- "tied" 나 "full" 이면 O(kmn^3+kn^3)

=> 특성 개수가 많으면 적용하기 어려움

 

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9. 2. 1 가우시안 혼합을 사용한 이상치 탐지

이상치 탐지는 보통과 많이 다른 샘플을 감지하는 작업

보통 샘플은 정상치라고 함

 

가우시안 혼합 모델을 이상치 탐지에 사용하는 방법은, 밀도가 낮은 지역에 있는 모든 샘플을 이상치로 간주하는 것

-> 사용할 밀도 임계값을 정해야함

- 거짓양성이 많다면 임계값을 낮추고, 거짓음성이 많다면 임계값을 높임 (정밀도/재현율 트레이드 오프)

 

네 번째 백분위수(4%)를 밀도 임계값으로 사용하여 이상치를 구분하는 코드

densities = gm.score_samples(X)
density_threshold = np.percentile(densities, 4)
anomalies = X[densities < density_threshold]

가우시안 혼합 모델을 사용한 이상치 탐지

이와 비슷한 특이치 탐지는 이상치로 오염되지 않는 깨끗한 데이터셋에서 훈련한다는 것이 이상치 탐지와 다른 점

- 이상치 탐지는 이런 가정을 하지 않고, 데이터셋을 정제하는 데 자주 사용됨

 

※ 가우시안 혼합 모델은 이상치를 포함해 모든 데이터에 맞추려고함

- 따라서 이상치가 너무 많으면 모델이 정상치를 바라보는 시각이 편향되고, 일부 이상치를 정상으로 잘못 생각할 수 있음

- 이런 경우는 먼저 한 모델을 훈련하고 가장 크게 벗어난 이상치를 제거해 그 다음 정제된 데이터셋에서 모델을 다시 훈련함

 

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9. 2. 2 클러스터 개수 선택하기

k-평균에서는 이너셔나 실루엣 점수를 사용해 적절한 클러스터 개수를 선택하지만,

가우시안 혼합에서는 이런 지표를 사용할 수 없음

- 이런 지표들은 클러스터가 타원형이거나 크기가 다를 때 안정적이지 않기 때문

 

대신 아래 BIC 나 AIC 와 같은 이론적 정보 기준을 최소화하는 모델을 찾음

 

BIC와 AIC

m : 샘플의 개수

p : 모델이 학습할 파라미터 개수

L-hat : 모델의 가능도 함수의 최댓값

 

BIC와 AIC는 모두 학습할 파라미터가 많은(=클러스터가 많은) 모델에게 벌칙을 가하고 데이터에 잘 학습하는 모델에게 보상을 더함

- 이 둘은 종종 동일한 모델을 선택함

- 둘의 선택이 다를 경우 BIC가 선택한 모델이 AIC가 선택한 모델보다 간단한(=파라미터가 적은) 경향이 있음

- 하지만 데이터가 아주 잘 맞지 않을 수 있음(특히 대규모 데이터셋)

 

가능도 함수

확률과 가능도는 종종 구별 없이 사용되지만, 통계학에서 이 둘은 다른 의미를 가짐 

- 파라미터 0인 확률 모델이 주어지만 '확률'은 미래 출력 x가 얼마나 그럴듯한지 설명함 (파라미터 값 0을 알고 있다면)

- '가능도'는 출력 x를 알고 있을 때 특정 파라미터 값 0이 얼마나 그럴듯한지 설명함

 

BIC와 AIC 계산

gm.bic(X)
gm.aic(X)

=> 8189.74345832983

=> 8102.518178214792

 

여러 가지 클러스터 개수 k에 대한 AIC 와 BIC

위 그래프에서 볼 수 있듯이

- k=3 에서 BIC 와 AIC 모두 가장 작으므로 k=3이 최선의 선택으로 보임

- covaraince_type  매개변수에 대해 최선의 값을 탐색할 수도 있음

• 예를 들어 "full" 대신 "spherical"을 선택하면

• 학습할 파라미터가 크게 줄어들지만 데이터에 잘 맞지 않음

 

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9. 2. 3 베이즈 가우시안 혼합 모델

최적의 클러스터 개수를 수동으로 찾지 않고 불필요한 클러스터의 가중치를 0으로 (또는 0에 가깝게) 만드는 BayesianGaussianMixture 클래스를 사용할 수 있음

- 클러스터 개수 n_components를 최적의 클러스터 개수보다 크다고 믿을 만한 값으로 지정

- 이 알고리즘은 자동으로 불필요한 클러스터를 제거

from sklearn.mixture import BayesianGaussianMixture

bgm = BayesianGaussianMixture(n_components=10, n_init=10, random_state=42)
bgm.fit(X)
np.round(bgm.weights_, 2)

=> array([0.4 , 0.21, 0.4 , 0. , 0. , 0. , 0. , 0. , 0. , 0. ])

 

- 알고리즘이 자동으로 3개의 클러스터가 필요함을 감지

 

이 모델에서 클러스터 파라미터(가중치, 평균, 공분산 행렬 등)는 고정된 모델 파라미터가 아닌 클러스터 할당처럼 잠재 확률 변수로 취급됨

- z는 클러스터 파라미터와 클러스터 할당을 모두 포함함

 

베타 분포는 고정 범위 안에 놓인 값을 가진 확률 변수를 모델링할 때 자주 사용됨

- ※ 책 그림 9-22참고

- 이 경우 0~1의 범위

- SBP(stick-breaking process)

• - φ=[0.3, 0.6, 0.5, ...] 를 가정하면 샘플의 30%가 클러스터 0에 할당되고 남은 샘플 60%가 클러스터 1에 할당됨

• - 남은 샘플의 50%가 클러스터 2에 할당됨

• 이 프로세스는 새로운 샘플이 작은 클러스터보다 큰 클러스터에 합류할 가능성이 높은 데이터셋에 잘 맞는 모델

• 농도 α가 크면 φ값이 0에 가깝게 되고 SBP는 많은 클러스터를 만듦

• 반대로 농도가 낮으면 φ값이 1에 가깝게 되고 몇 개의 클러스터만 만들어짐

- 마지막으로 위샤트 분포를 사용해 공분산 행렬을 샘플링 함

• 파라미터 d와 V가 클러스터 분포 모양을 제어

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다른 농도 값으로 동일한 데이터에서 다른 개수의 클러스터를 만듦

잠재 변수 z에 대한 사전 지식이 사전 확률이라는 확률 분포 p(z)에 인코딩될 수 있음

- 예를 들어 클러스터가 적을 것이라는 사전 믿음(낮은 농도)를 가질 수 있음

- 반대로 풍부하다고 믿을 수 있음(높은 농도)

- 이런 클러스터 개수에 대한 사전 믿음은 weight_concentration_prior 매개변수로 조정 가능

- 데이터가 많을수록 사전 믿음은 중요하지 않음

- 위 그림처럼 큰 차이가 나는 그래프를 그리려면 사전 믿음이 매우 강하고 데이터는 적어야 함

 

베이즈 정리는 데이터 X를 관측하고 난 후 잠재 변수에 대한 확률 분포를 업데이트하는 방법을 설명

- X가 주어졌을 때 z의 조건부 확률인 사후 확률 분포 p(z|X)을 계산

 

p( z | X ) = 사후 확률 = (가능도 x 사전 확률) / 증거 = p( X | z )p( z ) / p( X )

베이즈 정리

 

- 가우시안 혼합 모델(그리고 많은 문제)에서 분모 p(X)는 계산하기 힘듦

• 가능한 모든 z값에 대해 적분해야 하기 때문(모든 클러스터 파라미터와 클러스터 할당의 조합을 고려해야 함)

• 이는 베이즈 통계학에 있는 주요 문제로, 해결하기 위한 방법으로 변분 추론을 사용할 수 있음

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가우시안 혼합 모델은 타원형 클러스터에 잘 작동함

- 다른 모양을 가진 데이터셋에 훈련하면 나쁜 결과를 얻게 됨

- 반달 데이터셋을 군집하기 위해 베이즈 가우시안 혼합 모델을 사용한 결과

타원형이 아닌 클러스터에 가우시안 혼합 모델 훈련

- 필사적으로 타원을 찾다보니, 2개가 아닌 8개의 클러스터를 찾은 모습

- 밀도 추정은 나쁘지 않으므로 이 모델은 이상치 감지를 위해 사용할 수 있을 것

 

 

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9. 2. 4 이상치 탐지와 특이치 탐지를 위한 다른 알고리즘

임의의 모양을 가진 클러스터를 다룰 수 있는 군집 알고리즘들

- 사이킷런이 제공하는 이상치 탐지와 특이치 탐지 전용 알고리즘

 

이상치 탐지

PCA

• 보통 샘플의 재구성 오차와 이상치의 재구성 오차를 비교하면 일반적으로 후자가 훨씬 큼

• 매우 효과적인 이상치 탐지 기법

 

FAST-MCD

• 특히 데이터셋을 정제할 때 이상치 감지에 유용

• 보통 샘플(정상치)가 하나의 가우시안 분포에서 생성되었다고 가정(혼합된 것이 아니라)

• 이 가우시안 분포에서 생성되지 않는 이상치로 이 데이터셋이 오염되었다고 가정

• 알고리즘이 가우시안 분포의 파라미터를 추정할 때 이상치로 의심되는 샘플을 무시함

• 이런 기법으로 알고리즘이 타원형을 잘 추정하고 이상치를 잘 구분하도록 함

 

아이솔레이션 포레스트

• 고차원 데이터셋에서 이상치 감지를 위한 효율적인 알고리즘

• 무작위로 성장한 결정 트리로 구성된 랜덤 포레스트를 만듦

• 여기서 각 노드에서 특성을 랜덤하게 선택한 다음 랜덤한 임계값을 골라 데이터셋을 둘로 나눔

• 데이터셋은 점차 분리되어 모든 샘플이 다른 샘플과 격리될 때까지 진행

• 이상치를 일반적으로 다른 샘플과 멀리 떨어져 있으므로 정상 샘플과 적은 단계에서 격리

 

LOF

• 주어진 샘플 주위의 밀도와 이웃 주위의 밀도를 비교함

• 이상치는 k개의 최근접 이웃보다 더 격리될 수 있음

 

특이치 탐지

one-class SVM

• 커널 SVM 분류기는 모든 샘플을 고차원 공간에 매핑한 후 고차원 공간에서 선형 SVM 분류기를 사용해 두 클래스를 분리함

• 여기서는 샘플의 클래스가 하나이므로 대신 one-class SVM 알고리즘이 원본 공간으로부터 고차원 공간에 있는 샘플을 분리함

• 원본 공간에서는 모든 샘플을 둘러싼 작은 영역을 찾는 것에 해당

  • 새로운 샘플이 이 영역안에 놓이지 않는다면 이는 이상치

• 조정할 하이퍼파라미터가 적음 (커널 SVM을 위한 하이퍼파라미터 하나와 마진 하이퍼파라미터)

  • 마진은 실제 정상인 새로운 샘플을 실수로 이상치로 판단할 확률에 해당

• 고차원 데이터셋에서 잘 동작하지만, 대규모 데이터셋으로 확장은 어려움

 

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